「任せる」を英語で表現するとき、状況によって使い分ける必要があります。日常会話では 'leave it to me' がよく使われますが、ビジネスシーンでは 'delegate' や 'entrust' といった少しフォーマルな表現も適しています。友達同士のカジュアルな会話なら 'I got this' とか 'You can count on me' みたいなフレーズが自然ですね。
面白いことに、アニメやドラマの英語版を見ていると、キャラクターによって言い回しが変わります。『スパイファミリー』のロイドが任務を引き受けるときは 'I'll handle it' と言ったり、『進撃の巨人』のリヴァイ班が作戦を任されるときは 'We'll take care of it' といった表現を使っています。こういったメディアから自然な英語表現を学ぶのも楽しいですよ。
ネイティブスピーカーと話していると、'Be my guest' という表現もよく耳にします。直訳すると「私の客になって」ですが、実際には「どうぞお任せください」というニュアンスで使われます。英語って本当に状況や関係性によって表現が変わるので、いろんなパターンを覚えておくと便利です。