英語で「可及的速やかに」を表現する場合、状況によってニュアンスが変わりますね。ビジネスシーンでは『at your earliest convenience』がよく使われますが、これは丁寧さを保ちつつ急ぎを伝える便利な表現です。
緊急性が高い場合は『as soon as possible』(ASAP)が一般的で、特にメールやチャットで頻繁に見かけます。ただし、『urgently』や『without delay』はさらに緊迫感を伝えたい時に使うと効果的です。法律文書では『forthwith』という格式ばった表現も存在しますが、日常会話ではほぼ耳にしません。
英語には『矢継ぎ早に』に相当する表現がいくつかありますね。
『In rapid succession』は、物事が次々と途切れなく起こる様子を表すのにぴったりです。例えば、『The questions came in rapid succession』と言えば、質問が立て続けに投げかけられた状況が伝わります。
もう少しカジュアルな表現なら『One after another』も使えます。こちらは日常会話でよく耳にします。『The problems occurred one after another』といった具合に、連鎖的な出来事を描写するのに適しています。
『Back-to-back』も便利な表現で、特にイベントや出来事が間を置かずに続く場合に使われます。スポーツ中継で『back-to-back games』と言えば、連戦を指すことが多いです。