日本語の『折り入って』という表現は、英語で言い表すのがなかなか難しいニュアンスを含んでいますね。『I have a serious request』とか『Can I ask you something important?』なんかが近いかもしれません。
でも実は、この言葉の裏にある『相手に対して慎重に、かつ真剣に話を持ちかけたい』という気持ちを伝えるには、状況によって使い分ける必要があります。例えばビジネスシーンなら『May I have a moment of your time for something important?』が適切だし、友達同士のカジュアルな会話なら『Hey, I need to talk to you about something serious』の方が自然です。
この言葉の面白いところは、単なる依頼以上の『相手への配慮』が含まれている点で、英語で表現する際にはその辺りのニュアンスをどう組み込むかが鍵になります。