このフレーズの面白いところは、サーカスのポニーが一つの芸しかできないイメージから来ている点。『ワンマンショー』的なニュアンスも含まれていて、ビジネスシーンでも使われます。例えば新しい企画を出した同僚に『That's just your one-trick pony idea again』なんて言ったりしますね。
『Harp on the same thing』という言い回しもよく耳にします。これは同じ話題をくどくど繰り返す様子を表現していて、日本語の『馬鹿の一つ覚え』に近いニュアンス。ハープの弦を何度も弾く動作が語源らしいです。
実際に使う場面としては、政治討論番組で『The senator keeps harping on the tax issue』とか、親が子供に『Stop harping on about your phone』なんて感じ。『Beat a dead horse』とも少し似ていますが、こちらは無駄な努力の意味合いが強いです。
英語のことわざで似たニュアンスを探すと、'Ignorance is bliss'という表現が近いかもしれません。直訳すると『無知は幸せ』ですが、知らない方が悩まなくて済むという意味合いを含んでいます。
ただし、日本語の『馬鹿は風邪ひかない』にはもっと身体的な頑健さのニュアンスもあるので、'What you don't know won't hurt you'(知らないことはあなたを傷つけない)とも少し違います。個人的には、'Fools live carefree lives'(愚か者は気楽に生きる)という言い回しがしっくりくる気がします。文化背景の違いを考えると、完全に同じ意味の英語表現はないかもしれません。