英語で「手を出す」を表現する際、状況によって様々な言い回しが使えますね。物理的な接触を指すなら 'lay a hand on' が適切でしょう。例えば暴力を振るうような場面で 'He didn't lay a hand on her' と言えば「彼は彼女に手を出さなかった」という意味になります。
一方、何かに介入したり関与したりするニュアンスなら 'get involved in' や 'meddle in' がぴったり。'I don't want to get involved in their quarrel' は「彼らの争いに手を出したくない」と訳せます。特に 'meddle' には余計な干渉という否定的な含みがあるので、使い分けが重要です。興味深いのは、日本語と同じように英語でも「手」を使った表現が多い点で、言語間の共通点を感じさせます。
「食い下がる」という日本語のニュアンスを英語で表現するなら、'persist'が一番近い気がする。例えば、野球の試合で点差が開いても諦めずに反撃を続けるチームを描写する時、'The team persisted in their comeback attempt'と言えば、粘り強く食い下がるイメージが伝わる。
'Clinch'も使えるけど、これはどちらかというと最後の決定的な行動に焦点がある。'Tenaciously hang on'とも言えるが、少々堅苦しい印象になる。日常会話では'keep pushing'や'never give up'の方が自然かも。スポーツ中継やビジネスシーンで使われる'fight tooth and nail'も激しく食い下がる様子を表す面白い表現だ。