犬の散歩をお願いする場面では、'Would you mind taking my dog for a walk while I'm away?' という表現が丁寧で自然です。'mind'を使うことで相手への配慮を示せます。
ビジネスメールでペットシッターに依頼するなら、'I would appreciate it if you could look after my cat during my business trip from June 1st to 5th.' こんな風に具体的な日付を入れるとプロフェッショナルです。'appreciate'は感謝の気持ちを強調できる便利な単語ですね。
特に大事なのは、'Please make sure to...' のような命令形を避けること。代わりに 'It would be helpful if you could...' と言い換えると、相手の自主性を尊重したお願いになります。