最も近いのは 'by a hair’s breadth' でしょう。文字通り「髪の毛一本分の差」という意味で、勝負や結果がごくわずかの差で決まった時にぴったりです。例えば、'He won the race by a hair’s breadth' と言えば、「紙一重の差で勝った」という感じになります。
もう少しカジュアルな場面なら 'by a whisker' もいいですね。これは猫のひげ(whisker)ほど微妙な差というイメージで、スポーツの試合などでよく使われます。'The team escaped defeat by a whisker' と言えば、「チームは紙一重のところで敗北を免れた」という意味になります。
日常生活で使えるシンプルな表現なら 'very close' や 'just barely' も便利です。「試験に紙一重で合格した」なら 'I passed the exam just barely' で十分伝わります。微妙なニュアンスの違いを楽しみながら、状況に合わせて使い分けてみてください。
日本語の『腹に一物』のようなニュアンスを英語で表現するとなると、いくつかのバリエーションが考えられます。直訳すると『having something in one's belly』ですが、これだと物理的な意味に取られかねません。もっとネイティブが使う表現としては『have an axe to grind』が近いかもしれません。これは裏に何か思惑があるときによく使われるフレーズで、『彼は腹に一物あるんだよ』という文脈なら『He’s got an axe to grind』と訳せます。
もう少しカジュアルな表現だと『have a hidden agenda』も使えます。こちらはどちらかというと策略や隠された目的があるときにピッタリ。政治の話やビジネスの駆け引きで使われることが多いですが、日常会話でも『あの人、何か下心があるよね』というニュアンスで使えます。『スパイダーマン:ノー・ウェイ・ホーム』で登場人物が裏で企んでいるようなシーンを想像すると、この表現がしっくりくるかもしれません。
面白いところでは『scheme』という動詞を使う手もあります。『彼は何か企んでいる』という意味で『He’s scheming something』と言えば、悪巧みを含んだ『腹に一物』のイメージが伝わります。『ゲーム・オブ・スローンズ』のピーター・ベイリッシュ卿のようなキャラクターを思い浮かべると、この単語の持つニュアンスがよくわかるでしょう。
どれも完全に同じ意味ではないですが、文脈によって使い分けるのがポイントです。英語には日本語のような曖昧でニュアンス豊かな表現は少ないですが、状況に応じて適切なフレーズを選べば、十分に意図を伝えることができます。
英語で「荷が重い」を表現するなら、'The burden is heavy'が直訳に近いですが、状況によってニュアンスが変わります。仕事のプレッシャーを表すなら 'I'm under a lot of pressure' の方が自然。
面白いことに、'My plate is full'という表現もあって、これだと「手いっぱいでこれ以上無理」という感じが伝わります。友達同士のカジュアルな会話なら 'I've got too much on my shoulders' なんて言い方もいいですね。
海外ドラマ 'The Office' で面白い表現を聞いたことがあります。'I'm swamped' って言ってたんですが、これも「仕事に溺れてる」みたいな感じで重荷を表すのにピッタリでした。