日本語の『腹に一物』のようなニュアンスを英語で表現するとなると、いくつかのバリエーションが考えられます。直訳すると『having something in one's belly』ですが、これだと物理的な意味に取られかねません。もっとネイティブが使う表現としては『have an axe to grind』が近いかもしれません。これは裏に何か思惑があるときによく使われるフレーズで、『彼は腹に一物あるんだよ』という文脈なら『He’s got an axe to grind』と訳せます。
もう少しカジュアルな表現だと『have a hidden agenda』も使えます。こちらはどちらかというと策略や隠された目的があるときにピッタリ。政治の話やビジネスの駆け引きで使われることが多いですが、日常会話でも『あの人、何か下心があるよね』というニュアンスで使えます。『スパイダーマン:ノー・ウェイ・ホーム』で登場人物が裏で企んでいるようなシーンを想像すると、この表現がしっくりくるかもしれません。
英語で『背に腹は代えられぬ』を表現するなら、『The ends justify the means』が近いかもしれません。
これは目的を達成するためには手段を選ばないというニュアンスで、日本語の諺と似たような使われ方をします。例えば『Game of Thrones』のピーター・ベイリッシュのようなキャラクターの行動原理を説明する時にぴったり。ただし、日本語の方がより切迫感がある印象で、英語表現は少し冷徹な感じがしますね。
文化によってニュアンスの違いはあるものの、緊急時には手段を選べないという核心的な意味は共通しています。