英語で『背に腹は代えられぬ』を表現するなら、『The ends justify the means』が近いかもしれません。
これは目的を達成するためには手段を選ばないというニュアンスで、日本語の諺と似たような使われ方をします。例えば『Game of Thrones』のピーター・ベイリッシュのようなキャラクターの行動原理を説明する時にぴったり。ただし、日本語の方がより切迫感がある印象で、英語表現は少し冷徹な感じがしますね。
文化によってニュアンスの違いはあるものの、緊急時には手段を選べないという核心的な意味は共通しています。
英語圏には「背に腹はかえられぬ」に近いニュアンスを持つ表現がいくつかあります。特に面白いのは“Between a rock and a hard place”というフレーズで、文字通り「岩と硬い場所の間」という意味ですが、どちらを選んでも苦しい状況に追い込まれたときのジレンマを表します。
この表現の起源は20世紀初頭のアメリカ西部の鉱山労働者たちの間で生まれたと言われています。賃金削減に抗議すれば職を失い、黙っていれば生活が苦しくなる——そんな板挟みの状況をうまく言い表しています。最近では『スパイダーマン:ノー・ウェイ・ホーム』でピーター・パーカーが仲間を救うか世界を守るかの選択を迫られるシーンにも通じるものがありますね。