「浮き名を流す」という日本語のニュアンスを英語で表現するなら、'to have one's name associated with scandal' や 'to gain a reputation (for something)' が近いでしょう。特に恋愛スキャンダルの文脈では 'to be romantically linked with someone' という表現がよく使われます。
海外のことわざで似た概念を探すと、イタリア語の『Chi trova un amico trova un tesoro』(友人を見つけることは宝を見つけること)とは対照的に、フランスには『Les absents ont toujours tort』(いない者は常に悪者になる)という諺があります。これは人の噂が独り歩きする様子を表していて、日本語の「浮き名」と通じる部分がありますね。英語圏では『Give a dog a bad name and hang him』(犬に悪い名前を付けて吊るせ)という表現も、一度付いた評判が取り返しのつかないことを示しています。
海外ドラマや映画でよく耳にする表現として、'I'm so embarrassed' や 'That's so embarrassing' といったシンプルなフレーズが日常会話で頻出します。特にリアリティ番組やシチュエーションコメディでは、恥ずかしい瞬間を切り取った場面でキャストが自然にこう言っているのを耳にします。
もう少し感情を込めた言い回しだと、'I want to sink into the floor' という表現があります。文字通り「床に沈みたい」という意味で、日本語の「穴があったら入りたい」に近いニュアンス。『フレンズ』のようなコメディドラマで、ジョーイが恥ずかしい失敗をした後に叫ぶようなセリフです。
ビジネスシーンで使えるフォーマルな表現としては、'I deeply regret my actions' や 'I humbly apologize for the inconvenience' などが適切でしょう。『SUITS』のような法律ドラマでは、弁護士たちがクライアントへの謝罪シーンでこのような堅めの表現を使っています。
面白いところでは、'cringe' というスラングが若者を中心に流行しています。『エブリバディ・ハーツ・クリス』のようなティーン向けドラマで、主人公が友達の恥ずかしい行動を見て 'That's so cringe!' とツッコミを入れているシーンが印象的でした。この表現は特にネット文化と共に広がった新しい言い回しです。
英語で『お含みおきください』に近いニュアンスを伝えるなら、『Please bear in mind』がしっくりきますね。特にビジネスシーンでよく耳にします。
海外ドラマの『The Office』を見ていると、ミーティング中に『Just so you know』というフレーズが頻繁に出てきます。これも事前に情報を共有しておくという意味で、日本語の『お含みおき』と通じるものがあります。
ファンタジー作品だと、『Game of Thrones』で小貴族が『Mark my words』と言う場面がありました。警告的な響きも含まれますが、文脈によっては『覚えておいてください』という丁寧なニュアンスにもなります。
「世も末」を英語で表現するなら、直訳的な 'the world is ending' よりも 'the end times' という表現の方がニュアンスが近い気がする。宗教的な終末観を含む場合もあれば、単に世の中がめちゃくちゃだと感じるときにも使える便利なフレーズだ。
海外のドラマ『The Good Place』では、'Everything is fine!'と言いながら社会の不条理を描くシーンがあったが、ああいう皮肉の効いた表現も近いかもしれない。現代の若者文化だと 'society is crumbling' みたいなミームっぽい言い回しも流行っている。時代ごとに表現方法が変わるのが面白い。