英語で『背に腹は代えられぬ』を表現するなら、『The ends justify the means』が近いかもしれません。
これは目的を達成するためには手段を選ばないというニュアンスで、日本語の諺と似たような使われ方をします。例えば『Game of Thrones』のピーター・ベイリッシュのようなキャラクターの行動原理を説明する時にぴったり。ただし、日本語の方がより切迫感がある印象で、英語表現は少し冷徹な感じがしますね。
文化によってニュアンスの違いはあるものの、緊急時には手段を選べないという核心的な意味は共通しています。